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複雑性(ふくざつせい、)という用語は、多数の部品が入り組んで配置された何らかのものを特徴付ける言葉として使われる。科学として複雑性を研究するアプローチはいくつか存在しており、本項目ではそれらを概説する。マサチューセッツ工科大学のセス・ロイドは、複雑性の定義を32種類集めてプレゼンテーションしたことがあるという。

◆ 定義

複雑性の定義は、「システム」の概念と結び付けられていることが多い。システムとは部品や要素の集合であり、その部品や要素には互いに関係があり、システム外の要素とは関係の質が異なる。多くの定義は、システム内の多数の要素の状態とその要素間の関係の様々な形態を表現するのが複雑性という言葉だと仮定する傾向がある。同時に、何が複雑で何が単純なのかは相対的であり、その場その場で変化する。

定義によっては、システムの特徴が指定されたとき、与えられたシステム状態に遭遇する確率の問題に焦点を合わせている。ウォーレン・ウィーバーは、システムの部品毎の属性が与えられたとき、システム全体の属性を予測する困難さの度合いを複雑性であるとした。ウィーバーの観点では、複雑性は組織化されていない複雑性 (disorganized complexity) と組織化された複雑性 (organizaed complexity) という2つの形態に分類される。ウィーバーの論文はその後の複雑性の研究に影響を与えている。

システム、複数の要素、複数の関係の型、状態空間といった概念を具体化するアプローチは、定義されたシステム内の識別可能な関係の型(およびそれらの関連する状態空間)の数を複雑性とすることを暗に示していると言えるかもしれない。

定義によっては複雑な現象やモデルや数式を説明するアルゴリズムとの関係が深いものもある。

◆ 組織化されていない複雑性と組織化された複雑性

複雑性に関連した問題の1つは、無作為に選んだ事物の関係の豊富なバリエーションとシステム内の要素間の関係の概念的な区別である。システムには制約があり、要素のバリエーションも減少すると同時に、より一様または相関する関係や相互作用の識別可能な型 (regimes) を生成する。

ウィーバーはこの問題に気づいており、少なくとも予備的な方法でそれに対処した。それが「組織化されていない複雑性」と「組織化された複雑性」の区別である。

ウィーバーの観点では、組織化されていない複雑性は非常に多数の部品(例えば数百万やそれ以上の部品)を持つシステムから生じる。「組織化されていない複雑性」における部品間の相互作用は大部分が無作為に見えるが、システム全体の特性は確率論や統計学的手法により理解できる。

組織化されていない複雑性の好例として、コンテナに詰めたガスがある。この場合ガスの分子がシステムの部品に相当する。

ウィーバーの観点では、組織化された複雑性では部品間の相互作用は全く無作為的ではなく相関している。これらの非無作為的かつ相関的な関係は明確に区別される構造を生成し、それがシステムと呼ばれ、他のシステムと相互作用する。調整されたシステムは個々の部品にはない特性を明確に示す。主体的なシステム以外のシステムでこのような組織化された複雑性がある場合、何らかの「導きの手 (guiding hand)」が無いなら「創発」と言う事ができる。

システムが創発的特性を示すかどうかという点に、部品数はあまり重要ではない。組織化された複雑性のシステムがどのような特性を示すかは、モデリングとシミュレーション、特にコンピュータを使ったモデリングやシミュレーションで理解できる場合もある。組織化された複雑性の例としては、都市近郊の生活のメカニズムがある。この場合、システムの部品に相当するのは近郊に住む人々である。

◆ 複雑性の源と要因

組織化されていない複雑性の源は、システムの部品数が膨大で、システム内の要素間の相関が欠如していることである。

組織化された複雑性の源については今のところ統一的な見解は存在しないが、無作為的でないということは要素間に相関があることを暗示している。例えば、Robert Ulanowicz による生態系の扱いを参照 Ulanowicz, Robert, "Ecology, the Ascendant Perspective", Columbia, 1997。組織化されていない複雑性と同じく、システムの部品数や部品間の関係の数が重要かもしれないが、重要か重要でないかを区別する統一的な規則は存在しない。

オブジェクトあるいはシステムの複雑性は相対的特性である。例えば、計算問題の複雑性を計算にかかる時間としたとき、テープが1本のチューリングマシンよりもテープが複数本のチューリングマシンの方が計算にかかる時間が少なくなる。ランダムアクセス機械はさらに時間を削減できGreenlaw, N. and Hoover, H.J. Fundamentals of the Theory of Computation, Morgan Kauffman Publishers, San Francisco, 1998、帰納的チューリングマシンは関数や言語や集合の複雑性クラスさえも減少させることができるMark Burgin (2005), Super-recursive algorithms, Monographs in computer science, Springer.。このようにツールの選択が複雑性の重要な要因となりうる。

◆ 特定分野での意味

科学のいくつかの分野では、「複雑性」は次のような意味を持つ。

・ 計算複雑性理論では、アルゴリズムの実行に必要となる計算資源の量を研究する。「複雑性」を「計算量」とも呼び、具体的問題を最適なアルゴリズムを使って解くのに要するステップ数をその問題の入力の長さ(例えばビット数)の関数として表したものを時間計算量と呼ぶ。また、具体的問題を最適なアルゴリズムを使って解くのに要するメモリ量(例えば、テープ上のセル数)をその問題の入力の長さ(例えばビット数)の関数として表したものを空間計算量と呼ぶ。これによって計算問題を複雑性クラス(P、NPなど)に分類する。マヌエル・ブラムは計算複雑性理論の公理的手法を開発した。それによると、時間計算量や空間計算量といった具体的な複雑性尺度の多くの特性を公理的に定義された尺度の特性から演繹できる。

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