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以下の同値な定義を満たす集合は有限(ゆうげん)であるという。

一般的な定義(常有限であるともいう)

: 集合Mが有限とは、Mがある自然数と等しい濃度を持つこと。

デデキントによる定義

: 集合Mが有限とは、写像f:M→Mが存在して、任意のA⊂≠M、A≠φとなるAに対し、f(A)⊆Aとならないようにできる。

ツェルメロによる定義

: 集合Mが有限とは、1対1写像f:M-→M-が存在して、任意のA⊂M-であるAに対し、f(A)⊆Aかつf(M--A)⊆M-Aとならないようにできる。

ホワイトヘッド、ラッセルによる定義

:集合Mが有限とは、巾集合P(M)に対し、X⊆P(M)なるXについて、

:# φ∈X

:# A∈X、m∈MならばA∪∈X

:をみたすとき、M∈X

シェルピンスキーの定義

:集合Mが有限とは、X⊆P(M)なるXについて、

:# a∈Mならば∈X

:# A∈X、B∈XならばA∪B∈X

:をみたすとき、M∈X

タルスキーの定義

: 集合Mが有限とは、X⊆P(M)なる任意のXについて、B∈XかつB⊂AとなるBが存在しないようなA∈Xが存在する。

ウェーバーの定義

: 集合Mが有限とは、Mに適当な順序を与えると(実は任意の全順序に対して)双整列集合(つまり、空でない任意の部分集合が、この順序による最小値と最大値を共に持つ)になる

これらを満たす集合は、デデキント無限ではない(デデキント有限であるという)。しかし、これらを満たさない集合がデデキント無限になることの証明には、選択公理が必要である。

◆ 関連項目

・有限集合

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・有限 page1